Une fonction définie par deux formules

L'outil. La relation de Chasles : ${\int }_0^{3}f={\int }_0^{1}f+{\int }_1^{3}f$. On coupe exactement là où la formule change, de sorte que sur chaque morceau $f$ est donnée par une seule expression.

Premier morceau. Sur $[0,1]$, une primitive de $t\mapsto 2t$ est $t\mapsto t^2$, donc $${\int }_0^{1}2t\mathrm{d}t=[t^2{]}_0^1=1.$$

Second morceau. Sur $[1,3]$, une primitive de $t\mapsto 3-t$ est $t\mapsto 3t-\frac{t^2}{2}$, donc $${\int }_1^3(3-t)\mathrm{d}t=[3t-\frac{t^2}{2}{]}_1^3=(9-\frac{9}{2})-(3-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=2.$$

Somme. ${\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t=1+2=3$.

Interprétation. Sur $[0,3]$, $f$ est positive : $2t\ge 0$ sur $[0,1]$, et $3-t\ge 0$ sur $[1,3]$. L'intégrale est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses. On la retrouve géométriquement : un triangle de base $1$ et de hauteur $2$ (aire $1$), puis un trapèze de bases $2$ et $0$ et de hauteur $2$ (aire $2$).

Le point délicat. La valeur en $t=1$ n'a aucune importance : changer une fonction en un seul point ne change pas son intégrale.