Une suite d'intégrales

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 — Compléments d'intégration · Intégration par parties

Énoncé

Pour $n$ entier naturel, on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} e^{t} d t$ .

Calculer $I_{0}$ .
Montrer par une intégration par parties que $I_{n} = e - n I_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ .
En déduire $I_{1}$ , $I_{2}$ et $I_{3}$ .
Montrer que $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ .

Corrigé

1. $I_{0} = \int_{0}^{1} e^{t} d t = [e^{t}]_{0}^{1} = e - 1 \approx 1, 7183$ .

2. On pose $u^{'} (t) = e^{t}$ et $v (t) = t^{n}$ , donc $u (t) = e^{t}$ et $v^{'} (t) = n t^{n - 1}$ :

$I_{n} = [t^{n} e^{t}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} t^{n - 1} e^{t} d t = e - n I_{n - 1} .$

3. $I_{1} = e - 1 \times (e - 1) = 1$ . Puis $I_{2} = e - 2 \times 1 = e - 2 \approx 0, 7183$ , et $I_{3} = e - 3 (e - 2) = 6 - 2 e \approx 0, 5634$ .

4. Sur $[0, 1]$ on a $t^{n} \geq 0$ et $e^{t} > 0$ , donc $I_{n} \geq 0$ par positivité. Par ailleurs $e^{t} \leq e$ , donc $t^{n} e^{t} \leq e t^{n}$ et la comparaison donne

$I_{n} \leq e \int_{0}^{1} t^{n} d t = e [\frac{t ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} = \frac{e}{n + 1} .$

Contrôle. Pour $n = 3$ : $\frac{e}{4} \approx 0, 6796$ , et l'on a bien $0 \leq 0, 5634 \leq 0, 6796$ . La suite $(I_{n})$ tend vers $0$ , puisqu'elle est coincée entre $0$ et $e / (n + 1)$ .

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