Une suite d'intégrales qui tend vers zéro

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 — Compléments d'intégration · Positivité, comparaison et encadrement

Énoncé

Pour tout entier $n \geq 0$ , on pose $J_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{1 + t ^{2}} d t$ . Montrer que $J_{n} \geq 0$ , que la suite $(J_{n})$ est décroissante, puis que $0 \leq J_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ . En déduire la limite de $J_{n}$ .

Corrigé

Positivité. Sur $[0, 1]$ , $t^{n} \geq 0$ et $1 + t^{2} > 0$ , donc la fonction intégrée est positive. Les bornes étant dans l'ordre croissant, $J_{n} \geq 0$ .

Décroissance. Pour $t \in [0, 1]$ on a $t \leq 1$ , donc $t^{n + 1} = t \times t^{n} \leq t^{n}$ . En divisant par $1 + t^{2} > 0$ , l'inégalité se conserve : $\frac{t ^{n + 1}}{1 + t ^{2}} \leq \frac{t ^{n}}{1 + t ^{2}} .$ Par comparaison de deux intégrales, $J_{n + 1} \leq J_{n}$ : la suite est décroissante.

La majoration. Toujours pour $t \in [0, 1]$ , $1 + t^{2} \geq 1$ , donc $\frac{1}{1 + t ^{2}} \leq 1$ et $\frac{t ^{n}}{1 + t ^{2}} \leq t^{n} .$ En intégrant sur $[0, 1]$ : $J_{n} \leq \int_{0}^{1} t^{n} d t = [\frac{t ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} = \frac{1}{n + 1} .$

L'encadrement et la limite. On a donc $0 \leq J_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ pour tout $n$ . Comme $\frac{1}{n + 1} \to 0$ , le théorème d'encadrement donne $J_{n} \to 0$ .

Contrôle. $J_{0} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}}$ est majoré par $1$ , ce que confirme la formule ; et $J_{1} = \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t ^{2}} d t = [\frac{1}{2} ln (1 + t^{2})]_{0}^{1} = \frac{1}{2} ln 2 \approx 0, 347$ , bien compris entre $0$ et $\frac{1}{2}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.