Une valeur absolue de trinôme

Le signe d'abord. Le trinôme $t^2-3t+2$ se factorise en $(t-1)(t-2)$ : ses racines sont $1$ et $2$. Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc sur $[0,1]$ il est positif, et sur $[1,2]$ il est négatif.

La coupure. Par Chasles, $${\int }_0^2|t^2-3t+2|\mathrm{d}t={\int }_0^1(t^2-3t+2)\mathrm{d}t-{\int }_1^2(t^2-3t+2)\mathrm{d}t,$$ le signe moins venant de ce que $|u|=-u$ là où $u$ est négatif.

Une primitive. $F(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t$.

Les deux morceaux. $${\int }_0^1=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6},$$ $${\int }_1^2=F(2)-F(1)=(\frac{8}{3}-6+4)-\frac{5}{6}=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}.$$

Conclusion. ${\int }_0^2|t^2-3t+2|\mathrm{d}t=\frac{5}{6}-(-\frac{1}{6})=1$.

Contrôle de cohérence. Le résultat est positif, ce qui est obligatoire pour l'intégrale d'une fonction positive. Et il dépasse ${\int }_0^2(t^2-3t+2)\mathrm{d}t=\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$, ce qui est également obligatoire.