Une valeur actuelle, et sa limite

Ce qu'on montre. La valeur actuelle croît avec la durée, mais elle est bornée : au-delà d'un certain horizon, allonger le contrat ne rapporte presque plus rien.

La formule. Un euro reçu dans $t$ années vaut ${\mathrm{e}}^{-rt}$ euro aujourd'hui, et $t\mapsto -\frac{1}{0,04}{\mathrm{e}}^{-0,04t}$ est une primitive : $$V(T)={\int }_0^{T}20000{\mathrm{e}}^{-0,04t}\mathrm{d}t=500000(1-{\mathrm{e}}^{-0,04T}).$$

Les deux durées. ${\mathrm{e}}^{-0,2}\approx 0,8187$ donne $V(5)\approx 90650$ euros ; ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,3679$ donne $V(25)\approx 316060$ euros.

La limite. Quand $T\to +\infty$, ${\mathrm{e}}^{-0,04T}\to 0$, donc $V(T)\to \frac{20000}{0,04}=500000$ euros.

Le commentaire. Multiplier la durée par $5$ n'a multiplié la valeur que par $3,5$ environ, et même une durée infinie ne dépasse pas $500000$ euros. En nominal, $25$ ans rapportent $500000$ euros ; actualisés, ils n'en valent que $316000$.

Le point à retenir. Un flux constant $F$ perpétuel a une valeur actuelle FINIE, égale à $F/r$. Le taux joue le rôle d'un horizon : plus il est grand, moins le futur compte.