D'une somme partielle à une somme de série

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Convergence et somme d'une série

Énoncé

On pose $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .

Rappeler la valeur de $S_{n}$ et en déduire la nature de la série $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 )}$ , ainsi que sa somme.
Le terme général tend vers $0$ : cela suffisait-il à conclure ?
Calculer $n = 5 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}$ .

Corrigé

1. Le télescopage donne $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$ . Or $\frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + 1/ n} \to 1$ . La suite des sommes partielles converge vers $1$ , donc la série converge et

$n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1.$

2. Non. Le terme général de $\sum \frac{1}{n}$ tend aussi vers $0$ et cette série diverge. Ce qui a conclu ici, c'est le calcul explicite de $S_{n}$ et sa limite — rien d'autre.

3. On retranche la somme partielle $S_{4}$ à la somme totale :

$n = 5 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - S_{4} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} .$

Contrôle. $\frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \dots$ vaut $0, 0333 + 0, 0238 + 0, 0179 + \dots$ , une suite de termes positifs décroissants dont le total $0, 2$ est plausible.

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