Deux écritures d'une même somme

Le changement d'indice. On pose $j=k+1$. Quand $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n-1$, $j$ parcourt les entiers de $1$ à $n$. Et le terme $(k+1{)}^2$ s'écrit $j^2$. Donc $$\sum _{k=0}^{n-1}(k+1{)}^2=\sum _{j=1}^n{j}^2.$$ Les deux sommes ont bien le même nombre de termes, à savoir $n$.

L'application. Pour $n=10$, la somme demandée vaut $$\sum _{j=1}^{10}{j}^2=\frac{10\times 11\times 21}{6}=\frac{2310}{6}=385.$$

Contrôle sur un petit cas. Pour $n=3$ : à gauche $1^2+2^2+3^2=14$ (les valeurs $k=0,1,2$), à droite $\frac{3\times 4\times 7}{6}=14$.

L'intérêt du décalage. Il transforme une somme dont le terme général est compliqué en une somme usuelle, dont la valeur est connue. C'est le seul type de décalage attendu : de la forme $j=k+1$.