Deux géométriques dans une seule série

Ce qu'on montre. Une somme de deux termes géométriques se traite en coupant la somme partielle, qui est finie, jamais la somme infinie.

1. La décomposition. $\frac{2^n+3^n}{5^n}={\left(\frac{2}{5}\right)}^n+{\left(\frac{3}{5}\right)}^n$. La linéarité des sommes finies donne $$S_n=\sum _{k=0}^n{\left(\frac{2}{5}\right)}^k+\sum _{k=0}^n{\left(\frac{3}{5}\right)}^k.$$ Les deux raisons sont dans $\left]-1,1\right[$, donc chaque somme partielle converge ; $(S_n)$, somme de deux suites convergentes, converge aussi.

La somme. $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{2^n+3^n}{5^n}=\frac{1}{1-\frac{2}{5}}+\frac{1}{1-\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}+\frac{5}{2}=\frac{25}{6}\approx 4,17.$$ Les quatre premiers termes valent déjà $2+1+0,52+0,28=3,80$ : le résultat est plausible.

2. Une somme qui ne commence pas à zéro. On factorise le premier terme, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ : $$\sum _{n\ge 2}\frac{3}{2^n}=3\times \frac{1/4}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}.$$

Contrôle par soustraction. La somme complète vaut $3\times \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=6$ ; en retirant les termes $n=0$ et $n=1$, soit $3+\frac{3}{2}$, il reste $\frac{3}{2}$.

Le point à retenir. On ne coupe une série en deux qu'après avoir vérifié que chaque morceau converge. Le bon geste est de couper la somme partielle, puis de passer à la limite.