Deux raisons, deux natures

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Séries géométriques

Énoncé

Étudier la nature de $n \geq 0 \sum (\frac{1}{4})^{n}$ et de $n \geq 0 \sum (\frac{5}{4})^{n}$ , et donner la somme lorsqu'elle existe.

Corrigé

Le critère. La série géométrique $\sum_{n \geq 0} x^{n}$ converge si et seulement si $∣ x ∣ < 1$ , et sa somme vaut alors $\frac{1}{1 - x}$ .

La première. La raison est $x = \frac{1}{4}$ , et $\frac{1}{4} = 0, 25 < 1$ : la série converge, et $n = 0 \sum + \infty (\frac{1}{4})^{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} .$

La seconde. La raison est $x = \frac{5}{4} = 1, 25$ , et $∣ x ∣ \geq 1$ : la série diverge. On le confirme par la condition nécessaire : $(\frac{5}{4})^{n} \to + \infty$ , donc le terme général ne tend pas vers $0$ .

Contrôle sur la première. Les sommes partielles valent $1$ , $1, 25$ , $1, 3125$ , $1, 328 \dots$ , et $\frac{4}{3} \approx 1, 333$ : elles montent bien vers cette valeur sans la dépasser.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.