Deux raisons, deux natures

Le critère. La série géométrique ${\sum }_{n\ge 0}{x}^n$ converge si et seulement si $|x|<1$, et sa somme vaut alors $\frac{1}{1-x}$.

La première. La raison est $x=\frac{1}{4}$, et $\left|\frac{1}{4}\right|=0,25<1$ : la série converge, et $$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}.$$

La seconde. La raison est $x=\frac{5}{4}=1,25$, et $|x|\ge 1$ : la série diverge. On le confirme par la condition nécessaire : ${\left(\frac{5}{4}\right)}^n\to +\infty$, donc le terme général ne tend pas vers $0$.

Contrôle sur la première. Les sommes partielles valent $1$, $1,25$, $1,3125$, $1,328\dots$, et $\frac{4}{3}\approx 1,333$ : elles montent bien vers cette valeur sans la dépasser.