Deux sommes, deux outils

Ce qu'on montre. La linéarité ramène la première somme aux sommes usuelles ; le décalage d'indice ramène la seconde à une somme de carrés qui commence à $1$.

1. Par linéarité. On développe $k(k+2)=k^2+2k$, donc $$\sum _{k=1}^{n}k(k+2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\times \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6}+1\right)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}.$$

Contrôles. Pour $n=1$ la somme vaut $3$, et la formule $\frac{1\times 2\times 9}{6}=3$. Pour $n=2$ elle vaut $3+8=11$, et la formule $\frac{2\times 3\times 11}{6}=11$.

La valeur demandée. Pour $n=20$ : $\frac{20\times 21\times 47}{6}=3290$.

2. Par décalage d'indice. On pose $j=k-2$ : quand $k$ va de $3$ à $12$, $j$ va de $1$ à $10$, et $(k-2{)}^2=j^2$. Donc $$\sum _{k=3}^{12}(k-2{)}^2=\sum _{j=1}^{10}{j}^2=\frac{10\times 11\times 21}{6}=385.$$ Le point délicat est de changer les deux bornes en même temps que le terme général : en oublier une fausse tout.

Le point à retenir. Un décalage d'indice ne change ni le nombre de termes ni leur valeur : il renomme le compteur, pour ramener la somme à une forme dont on connaît le résultat.