Deux sommes ramenées aux sommes usuelles

Ce qu'on emploie. La linéarité de la somme, et les deux sommes usuelles ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

La première. Par linéarité, $$A_n=3\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}2=3\times \frac{n(n+1)}{2}-2n=\frac{3n^2+3n-4n}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}.$$ Attention au second terme : la somme de $n$ constantes égales à $2$ vaut $2n$, et non $2$.

La seconde, par décalage d'indice. Posons $j=k+1$ : quand $k$ va de $1$ à $n$, $j$ va de $2$ à $n+1$, et $(k+1{)}^2=j^2$. Donc $$B_n=\sum _{j=2}^{n+1}{j}^2=\sum _{j=1}^{n+1}{j}^2-1=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1,$$ où l'on a ajouté puis retranché le terme $j=1$, qui vaut $1$.

Les valeurs numériques. $A_{15}=\frac{15\times 44}{2}=330$ et $B_{15}=\frac{16\times 17\times 33}{6}-1=1496-1=1495$.

Contrôles. Pour $n=1$ : $A_1=\frac{1\times 2}{2}=1=3-2$, et $B_1=\frac{2\times 3\times 5}{6}-1=5-1=4=2^2$. Les deux formules sont exactes au premier rang.