La loi du premier succès

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Convergence et somme d'une série

Énoncé

On répète indéfiniment une épreuve dont la probabilité de succès vaut $p = 0, 3$ , et l'on note $X$ le rang du premier succès, de sorte que $P (X = n) = 0, 3 \times 0, 7^{n - 1}$ pour $n \geq 1$ .

Vérifier que la somme des $P (X = n)$ vaut $1$ .
Calculer $P (X \geq 4)$ .

Corrigé

1. La série est géométrique, de premier terme $0, 3$ et de raison $0, 7$ , avec $∣0, 7∣ < 1$ :

$n = 1 \sum + \infty 0, 3 \times 0, 7^{n - 1} = \frac{0 , 3}{1 - 0 , 7} = \frac{0 , 3}{0 , 3} = 1.$

C'est bien une loi de probabilité.

2. $[X \geq 4]$ signifie que les trois premières épreuves ont échoué. Par la série :

$P (X \geq 4) = n = 4 \sum + \infty 0, 3 \times 0, 7^{n - 1} = \frac{0 , 3 \times 0 , 7 ^{3}}{1 - 0 , 7} = 0, 7^{3} = 0, 343.$

Contrôle direct. $P (X \geq 4)$ est la probabilité de trois échecs consécutifs, soit $0, 7^{3} = 0, 343$ . Les deux calculs concordent, ce qui valide au passage la formule de la somme à partir d'un rang.

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