La somme des carrés des nombres impairs

Ce qu'on va faire. Développer le carré, puis ramener chaque morceau à une somme usuelle par linéarité.

Le développement. $(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$, donc $$S_n=4\sum _{k=1}^n{k}^2-4\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1.$$

Les trois sommes. La dernière vaut $n$ (il y a $n$ termes égaux à $1$). Les deux autres sont usuelles : $$S_n=4\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\times \frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n.$$

La réduction. On met $n$ en facteur et on réduit au dénominateur $3$ : $$S_n=\frac{n}{3}[2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3]=\frac{n}{3}[4n^2+6n+2-6n-6+3]=\frac{n(4n^2-1)}{3}.$$ En factorisant la différence de deux carrés : $$S_n=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$

Les trois contrôles. Pour $n=1$ : $\frac{1\times 1\times 3}{3}=1=1^2$. Pour $n=2$ : $\frac{2\times 3\times 5}{3}=10=1+9$. Pour $n=3$ : $\frac{3\times 5\times 7}{3}=35=1+9+25$. La formule est confirmée trois fois.