Le reste d'une série géométrique

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Séries géométriques

Énoncé

Pour tout entier $N \geq 0$ , on pose $R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty (\frac{1}{3})^{n}$ . Justifier que $R_{N}$ existe, calculer $R_{N}$ en fonction de $N$ , puis déterminer le plus petit entier $N$ tel que $R_{N} < 1 0^{- 3}$ .

Corrigé

L'existence. La raison est $\frac{1}{3}$ , et $\frac{1}{3} < 1$ : la série géométrique converge, donc son reste à partir du rang $N + 1$ est bien défini.

Le calcul, par factorisation du premier terme. On pose $j = n - (N + 1)$ , de sorte que $n = j + N + 1$ avec $j \geq 0$ : $R_{N} = j = 0 \sum + \infty (\frac{1}{3})^{j + N + 1} = (\frac{1}{3})^{N + 1} j = 0 \sum + \infty (\frac{1}{3})^{j} = (\frac{1}{3})^{N + 1} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} .$

La simplification. $\frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$ , donc $R_{N} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3 ^{N + 1}} = \frac{1}{2 \times 3 ^{N}} .$

Contrôle. Pour $N = 0$ : $R_{0} = \frac{1}{2}$ , et directement $\sum_{n \geq 1} (1/3)^{n} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2}$ . Les deux coïncident.

L'inéquation. $R_{N} < 1 0^{- 3}$ équivaut à $2 \times 3^{N} > 1000$ , soit $3^{N} > 500$ . Or $3^{5} = 243$ et $3^{6} = 729$ : le plus petit entier convenable est $N = 6$ .

Vérification. $R_{6} = \frac{1}{2 \times 729} = \frac{1}{1458} \approx 6, 9 \times 1 0^{- 4} < 1 0^{- 3}$ , tandis que $R_{5} = \frac{1}{486} \approx 2, 1 \times 1 0^{- 3} > 1 0^{- 3}$ .

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