Le terme général et la convergence

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Convergence et somme d'une série

Énoncé

Montrer que $n \geq 1 \sum \frac{n}{n + 1}$ diverge.
Le terme général de $n \geq 1 \sum \frac{1}{n}$ tend vers $0$ . Peut-on en conclure que la série converge ?

Corrigé

1. On calcule la limite du terme général : $\frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + 1/ n} \to 1$ quand $n \to + \infty$ . Comme $1 \neq = 0$ , la condition nécessaire de convergence n'est pas remplie : la série diverge grossièrement.

2. Non. La condition « $u_{n} \to 0$ » est nécessaire, elle n'est pas suffisante. La série $\sum \frac{1}{n}$ en est justement le contre-exemple classique : son terme général tend vers $0$ et pourtant elle diverge (résultat admis).

Le bon usage. Le théorème sert à réfuter une convergence, jamais à l'établir. Pour l'établir, on ne dispose ici que de la série géométrique.

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