Nature et somme de quatre séries

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Séries géométriques

Énoncé

Pour chacune des séries suivantes, dire si elle converge et, le cas échéant, donner sa somme :

$n \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{n}, n \geq 0 \sum 3 \times (0, 8)^{n}, n \geq 0 \sum (- \frac{1}{3})^{n}, n \geq 0 \sum (\frac{5}{4})^{n} .$

Corrigé

Première. Raison $\frac{1}{2}$ , de valeur absolue $< 1$ : elle converge, et sa somme vaut $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$ .

Deuxième. Le facteur $3$ sort par linéarité. Raison $0, 8 < 1$ : elle converge, de somme $3 \times \frac{1}{1 - 0 , 8} = 3 \times 5 = 15$ .

Troisième. Raison $- \frac{1}{3}$ , de valeur absolue $\frac{1}{3} < 1$ : elle converge, de somme $\frac{1}{1 + 1/3} = \frac{3}{4}$ .

Quatrième. Raison $\frac{5}{4} > 1$ : la série diverge. Son terme général $(\frac{5}{4})^{n}$ tend vers $+ \infty$ , donc pas vers $0$ : elle diverge même grossièrement.

Le réflexe. On regarde d'abord $∣ x ∣$ , et l'on ne calcule la somme qu'ensuite. Écrire $\frac{1}{1 - 5/4} = - 4$ pour la dernière serait une faute : ce nombre ne désigne rien.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.