Quand le télescopage fait apparaître une géométrique

Première façon : le télescopage. Posons $a_k=2^k$. Le terme général s'écrit $a_{k+1}-a_k$, donc la somme est $$T_n=\sum _{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1=2^{n+1}-2.$$

Seconde façon : la simplification. $2^{k+1}-2^k=2^k(2-1)=2^k$. La somme est donc une somme géométrique : $$T_n=\sum _{k=1}^n{2}^k=2\times \frac{1-2^n}{1-2}=2(2^n-1)=2^{n+1}-2.$$

Les deux coïncident. Contrôle pour $n=3$ : $T_3=2+4+8=14$, et $2^4-2=14$.

La série. Deux arguments concluent, et l'un suffit.

Par les sommes partielles : $T_n=2^{n+1}-2\to +\infty$, donc la suite des sommes partielles n'a pas de limite finie : la série diverge.

Par la condition nécessaire : le terme général vaut $2^k$, qui tend vers $+\infty$ et non vers $0$. Une série dont le terme général ne tend pas vers $0$ diverge.

Le point à retenir. Un télescopage ne garantit rien : il donne la somme partielle sous forme close, et c'est ensuite la limite de cette forme close qui décide de la nature de la série.