Remonter d'une somme partielle au terme général

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Nature d'une série

Énoncé

Une série $n \geq 1 \sum u_{n}$ a pour somme partielle $S_{n} = k = 1 \sum n u_{k} = \frac{3 n}{n + 2}$ pour tout $n \geq 1$ . Déterminer la nature de la série et sa somme, puis calculer $u_{1}$ et $u_{n}$ pour $n \geq 2$ .

Corrigé

La nature et la somme. Par définition, la série converge si et seulement si la suite $(S_{n})$ converge. Or $S_{n} = \frac{3 n}{n + 2} = \frac{3}{1 + \frac{2}{n}} n \to + \infty 3.$ La série converge, et sa somme vaut $n = 1 \sum + \infty u_{n} = 3$ .

Le premier terme. $u_{1} = S_{1} = \frac{3}{3} = 1$ .

Les suivants. Pour $n \geq 2$ , $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ , puisque $S_{n}$ contient un terme de plus que $S_{n - 1}$ : $u_{n} = \frac{3 n}{n + 2} - \frac{3 ( n - 1 )}{n + 1} = \frac{3 n ( n + 1 ) - 3 ( n - 1 ) ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} .$ Au numérateur, $3 [(n^{2} + n) - (n^{2} + n - 2)] = 6$ . Donc $u_{n} = \frac{6}{( n + 1 ) ( n + 2 )} (n \geq 2) .$

Contrôles. La formule donne $u_{2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , et directement $S_{2} - S_{1} = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2}$ . Elle donne $u_{3} = \frac{6}{20} = 0, 3$ , et $S_{3} - S_{2} = \frac{9}{5} - \frac{3}{2} = 0, 3$ .

Le point délicat. La formule $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ n'a de sens qu'à partir de $n = 2$ : $S_{0}$ n'est pas défini par l'énoncé. Le premier terme se lit séparément, sur $S_{1}$ . Ici la formule donnerait d'ailleurs $\frac{6}{2 \times 3} = 1$ , ce qui coïncide — mais c'est une coïncidence, pas une règle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.