Télescopage avec un logarithme

La somme partielle. On a $\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln (k+1)-\ln k$, donc la somme est télescopique :

$$\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1)-\ln 1=\ln (n+1).$$

Contrôle pour $n=7$. $\ln 8\approx 2,0794$, et l'addition des sept logarithmes donne la même valeur.

La nature de la série. $S_n=\ln (n+1)\to +\infty$ : la suite des sommes partielles n'a pas de limite finie, donc la série diverge.

À remarquer. Ici le terme général $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ tend pourtant vers $0$. C'est un second exemple de série divergente à terme général nul à la limite.