Trois séries, trois verdicts

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Nature d'une série

Énoncé

Pour chacune des séries suivantes, dire si elle converge, en justifiant, et donner sa somme le cas échéant.

$(a) n \geq 0 \sum (1, 01)^{n}, (b) n \geq 1 \sum \frac{n + 1}{n}, (c) n \geq 0 \sum (- \frac{1}{4})^{n}$

Corrigé

(a). C'est une série géométrique de raison $x = 1, 01$ . Or $∣1, 01∣ \geq 1$ : elle diverge. On peut aussi le voir par la condition nécessaire, $1, 0 1^{n} \to + \infty$ , donc le terme général ne tend pas vers $0$ .

(b). Le terme général vaut $\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ , qui tend vers $1$ et non vers $0$ . Le terme général d'une série convergente tend vers $0$ ; par contraposée, la série diverge.

(c). C'est une série géométrique de raison $x = - \frac{1}{4}$ . Comme $- \frac{1}{4} = \frac{1}{4} < 1$ , elle converge, et $n = 0 \sum + \infty (- \frac{1}{4})^{n} = \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} .$

Contrôle sur (c). Les premières sommes partielles valent $1$ , $1 - 0, 25 = 0, 75$ , $0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125$ , puis $0, 7969$ : elles encadrent de plus en plus étroitement $0, 8 = \frac{4}{5}$ .

Ce qu'il faut retenir. La condition nécessaire ne sert qu'à réfuter la convergence, comme en (a) et en (b). Elle ne l'établit jamais : c'est un théorème sur les séries géométriques qui conclut en (c).

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.