Trois sommes à connaître

La première. La formule usuelle donne $$\sum _{k=1}^{30}k=\frac{30\times 31}{2}=\frac{930}{2}=465.$$

La deuxième. De même, $$\sum _{k=1}^{15}{k}^2=\frac{15\times 16\times 31}{6}=\frac{7440}{6}=1240,$$ avec $2n+1=31$ pour $n=15$.

La troisième. Le terme $7$ ne dépend pas de $k$ : la somme comporte $n$ termes tous égaux à $7$, donc $$\sum _{k=1}^{n}7=7n.$$

Le piège. Écrire ${\sum }_{k=1}^{n}7=7$ est l'erreur classique : le symbole somme compte les termes, et il y en a $n$ — un par valeur de $k$ entre $1$ et $n$.

Contrôles. Pour $n=3$ : $7+7+7=21=7\times 3$. Et sur la première somme, un contrôle d'ordre de grandeur : les $30$ termes valent en moyenne $\frac{1+30}{2}=15,5$, ce qui donne $30\times 15,5=465$ — on retrouve exactement la valeur trouvée.