Trois sommes usuelles

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Le symbole somme et le décalage d'indice

Énoncé

Calculer $k = 1 \sum 20 (2 k - 1)$ , $k = 1 \sum 10 k^{2}$ et $k = 1 \sum 12 5$ .

Corrigé

Première somme. Par linéarité, $\sum_{k = 1}^{20} (2 k - 1) = 2 \sum_{k = 1}^{20} k - \sum_{k = 1}^{20} 1 = 2 \times \frac{20 \times 21}{2} - 20 = 420 - 20 = 400$ .

Deuxième somme. $\sum_{k = 1}^{10} k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$ .

Troisième somme. Le terme ne dépend pas de $k$ : il y a $12$ termes égaux à $5$ , donc $\sum_{k = 1}^{12} 5 = 60$ .

Remarque. La première somme vaut $400 = 2 0^{2}$ . Ce n'est pas un hasard : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut toujours $n^{2}$ .

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