Un télescopage à deux crans

Ce qu'on montre. Le télescopage fonctionne encore avec un décalage de deux crans, mais il reste alors deux termes à chaque bout.

La décomposition. $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}=\frac{(k+2)-k}{k(k+2)}=\frac{2}{k(k+2)}$ ; en divisant par $2$ on obtient l'égalité annoncée.

La somme partielle. Par linéarité, puis en posant $j=k+2$ dans la seconde somme (quand $k$ va de $1$ à $n$, $j$ va de $3$ à $n+2$) : $$S_n=\frac{1}{2}\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum _{j=3}^{n+2}\frac{1}{j}\right).$$ Les deux sommes partagent tous leurs termes d'indice $3$ à $n$. Il reste, dans la première, $1$ et $\frac{1}{2}$ ; dans la seconde, $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n+2}$ : $$S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right).$$

Contrôles. Pour $n=1$ : la somme vaut $\frac{1}{3}$, et la formule $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. Pour $n=2$ : la somme vaut $\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{11}{24}$, et la formule $\frac{1}{2}\times \frac{11}{12}=\frac{11}{24}$.

La série. Quand $n\to +\infty$, $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n+2}$ tendent vers $0$, donc $S_n\to \frac{3}{4}$. La série converge et ${\sum }_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+2)}=\frac{3}{4}$.

Le point à retenir. Avec un décalage de $p$ crans, il reste $p$ termes au début et $p$ à la fin. Le bon réflexe n'est pas de « voir » les simplifications mais d'écrire le décalage d'indice, qui les rend visibles.