Un télescopage avec des racines

Ce qu'on montre. Une série dont le terme général tend vers $0$ et qui diverge pourtant.

La somme partielle. Le terme général est de la forme $a_{k+1}-a_k$ avec $a_k=\sqrt{k}$ : la somme est télescopique et $$S_n=\sum _{k=1}^n(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{n+1}-1.$$

Contrôle. Pour $n=3$ : $(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})=1$, et la formule donne $\sqrt{4}-1=1$.

La nature de la série. $\sqrt{n+1}\to +\infty$, donc $S_n\to +\infty$ : la suite des sommes partielles n'a pas de limite finie et la série diverge.

Le terme général. Il tend pourtant vers $0$. En multipliant par la quantité conjuguée, $$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

Conclusion. Voici donc une série dont le terme général tend vers $0$ et qui diverge : la réciproque de la condition nécessaire est fausse, et cet exemple suffit à le prouver.

Le point à retenir. Le théorème ne s'utilise que par contraposée. Si le terme général tend vers $0$, on n'a rien appris — il faut alors calculer les sommes partielles, comme ici.