Un télescopage de rang impair

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Sommes télescopiques

Énoncé

Vérifier que pour tout entier $k \geq 1$ , $\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} = \frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}$ . En déduire $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}$ , puis la nature et la somme de la série $k \geq 1 \sum \frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}$ .

Corrigé

L'identité. En réduisant au même dénominateur, $\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} = \frac{( 2 k + 1 ) - ( 2 k - 1 )}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )},$ et les deux dénominateurs sont non nuls pour $k \geq 1$ .

Le télescopage. Posons $a_{k} = \frac{1}{2 k - 1}$ . L'identité s'écrit $\frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = a_{k} - a_{k + 1}$ , puisque $a_{k + 1} = \frac{1}{2 k + 1}$ . Donc $S_{n} = k = 1 \sum n (a_{k} - a_{k + 1}) = a_{1} - a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{2 n + 1} = \frac{2 n}{2 n + 1},$ tous les termes intermédiaires se détruisant deux à deux.

Contrôles. $S_{1} = \frac{2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$ , et la formule donne $\frac{2}{3}$ . $S_{2} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \times 5} = \frac{2}{3} + \frac{2}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ , et la formule donne $\frac{4}{5}$ .

La série. Par définition, la série converge si et seulement si la suite des sommes partielles converge. Ici $S_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1} n \to + \infty 1,$ puisque $\frac{2 n}{2 n + 1} = \frac{2}{2 + 1/ n}$ . La série converge, et $k = 1 \sum + \infty \frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = 1.$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.