Un télescopage sur les carrés

Première façon : le télescopage. Posons $a_k=k^2$. Le terme général est $a_{k+1}-a_k$, donc $$\sum _{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1=(n+1{)}^2-1=n^2+2n.$$

Seconde façon : le développement. $(k+1{)}^2-k^2=k^2+2k+1-k^2=2k+1$. Donc, par linéarité, $$\sum _{k=1}^n(2k+1)=2\times \frac{n(n+1)}{2}+n=n(n+1)+n=n^2+2n.$$

Les deux coïncident, ce qui valide les deux calculs à la fois.

Contrôle numérique. Pour $n=3$ : à gauche $(4-1)+(9-4)+(16-9)=3+5+7=15$, et la formule donne $9+6=15$.

Au passage. Le même télescopage, décalé d'un cran, donne ${\sum }_{k=0}^{n-1}((k+1{)}^2-k^2)=n^2-0=n^2$, c'est-à-dire ${\sum }_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ : la somme des $n$ premiers nombres impairs est un carré parfait.