Un télescopage sur les inverses de carrés

L'identité. Au même dénominateur $k^2(k+1{)}^2$ : $$\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}=\frac{(k+1{)}^2-k^2}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{k^2+2k+1-k^2}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}.$$ Les deux dénominateurs sont non nuls pour $k\ge 1$.

Le télescopage. Posons $a_k=\frac{1}{k^2}$. Le terme général est $a_k-a_{k+1}$, donc $$U_n=\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})=a_1-a_{n+1}=1-\frac{1}{(n+1{)}^2}.$$

Contrôles. $U_1=\frac{3}{1\times 4}=\frac{3}{4}$, et la formule donne $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. $U_2=\frac{3}{4}+\frac{5}{4\times 9}=\frac{3}{4}+\frac{5}{36}=\frac{32}{36}=\frac{8}{9}$, et la formule donne $1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

La série. La suite des sommes partielles converge, puisque $\frac{1}{(n+1{)}^2}\to 0$. Donc la série converge et $$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}=1.$$

Le point délicat. Le terme général tend vers $0$ — mais ce n'est pas ce qui a permis de conclure. La condition « le terme général tend vers $0$ » est nécessaire, jamais suffisante : c'est le calcul explicite de $U_n$ qui démontre la convergence, et lui seul qui donne la somme.