Un télescopage sur les inverses

Sommes et séries numériques · Sommes télescopiques · niveau 1 (application)

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Calculer $k = 1 \sum n (\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k})$ pour tout entier $n \geq 1$ , puis en déduire la limite de cette somme quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

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La forme télescopique. Posons $a_{k} = \frac{1}{k}$ . Le terme général s'écrit $a_{k + 1} - a_{k}$ : la somme est télescopique.

Le calcul. Tous les termes intermédiaires se détruisent deux à deux, et il ne reste que le dernier moins le premier : $k = 1 \sum n (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{1} = \frac{1}{n + 1} - 1.$

Contrôles. Pour $n = 1$ : la somme vaut $\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ , et la formule donne $\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ . Pour $n = 2$ : $(\frac{1}{2} - 1) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$ , et la formule donne $\frac{1}{3} - 1$ .

La limite. Quand $n$ tend vers $+ \infty$ , $\frac{1}{n + 1}$ tend vers $0$ , donc la somme tend vers $- 1$ .

Le détail qui compte. L'ordre des deux termes : ici c'est $a_{k + 1} - a_{k}$ , donc le résultat est « dernier moins premier ». Avec $a_{k} - a_{k + 1}$ , ce serait « premier moins dernier », et le signe changerait.

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