Une équation dont l'inconnue est la raison

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Séries géométriques

Énoncé

Déterminer les réels $x$ pour lesquels la série $n \geq 0 \sum x^{n}$ converge et a pour somme $4$ . Même question avec la somme $\frac{1}{2}$ .

Corrigé

Le théorème employé. La série $\sum_{n \geq 0} x^{n}$ converge si et seulement si $∣ x ∣ < 1$ , et sa somme vaut alors $\frac{1}{1 - x}$ .

Premier cas. On cherche $x$ avec $∣ x ∣ < 1$ et $\frac{1}{1 - x} = 4$ . Comme $1 - x \neq = 0$ , l'équation équivaut à $1 = 4 (1 - x)$ , soit $4 x = 3$ , donc $x = \frac{3}{4}$ .

Il faut encore vérifier la condition. $\frac{3}{4} = 0, 75 < 1$ : la valeur convient. La somme vaut alors $\frac{1}{1 - 3/4} = 4$ .

Second cas. $\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{2}$ donne $2 = 1 - x$ , donc $x = - 1$ . Mais $∣ - 1∣ = 1$ n'est pas strictement inférieur à $1$ : la série $\sum (- 1)^{n}$ diverge — son terme général vaut alternativement $1$ et $- 1$ , et ne tend pas vers $0$ . Il n'existe donc aucun réel $x$ pour lequel la somme vaut $\frac{1}{2}$ .

Ce que l'exercice montre. La fonction $x \mapsto \frac{1}{1 - x}$ ne prend, sur $] - 1, 1 [$ , que des valeurs strictement supérieures à $\frac{1}{2}$ : les sommes atteignables sont exactement les nombres de $] \frac{1}{2}, + \infty [$ . Écrire l'équation sans vérifier $∣ x ∣ < 1$ conduit donc à une réponse fausse.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.