Une rente dont les versements augmentent

La somme à écrire. La valeur actuelle est la somme de toutes les valeurs actualisées : $$V=\sum _{n=1}^{+\infty }1000\times 1,02^n\times 1,05^{-n}=1000\sum _{n=1}^{+\infty }{\left(\frac{1,02}{1,05}\right)}^n.$$ C'est le point clé : les deux puissances se regroupent en une seule, de raison $q=\frac{1,02}{1,05}=\frac{102}{105}=\frac{34}{35}$.

La convergence. $0<q=\frac{34}{35}<1$, donc $|q|<1$ : la série géométrique converge. C'est ici que la croissance de $2\%$ est mise en échec par l'actualisation à $5\%$ — si le taux de croissance dépassait le taux d'actualisation, la raison serait supérieure à $1$ et la valeur actuelle serait infinie.

La somme. La série commence au rang $1$ : on factorise le premier terme, $$\sum _{n=1}^{+\infty }{q}^n=\frac{q}{1-q}=\frac{34/35}{1-34/35}=\frac{34/35}{1/35}=34.$$

Conclusion. $V=1000\times 34=34000$ euros.

Contrôle. Une rente constante de $1000$ euros par an, actualisée au même taux, a pour raison $\frac{1}{1,05}$ et vaut $$1000\times \frac{1/1,05}{1-1/1,05}=1000\times \frac{1}{0,05}=20000\text{euros}.$$ La croissance de $2\%$ des versements fait passer de $20000$ à $34000$ euros : l'écart est considérable, et il va dans le sens attendu.