Une rente perpétuelle

Sommes et séries numériques · Séries géométriques · niveau 3 (difficile)

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Un placement verse $1500$ euros à la fin de chaque année, indéfiniment. Le taux d'actualisation est de $5 %$ : un euro versé dans $n$ années vaut $1, 0 5^{- n}$ euro aujourd'hui. Calculer la valeur actuelle de cette rente.

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La mise en série. La valeur actuelle est

$V = n = 1 \sum + \infty \frac{1 500}{1 , 0 5 ^{n}} = 1500 n = 1 \sum + \infty (\frac{1}{1 , 05})^{n} .$

Convergence. La raison vaut $x = \frac{1}{1 , 05} \approx 0, 9524$ , et $∣ x ∣ < 1$ : la série converge.

La somme. Le premier terme écrit est $x$ , donc

$n = 1 \sum + \infty x^{n} = \frac{x}{1 - x} = \frac{1/1 , 05}{1 - 1/1 , 05} = \frac{1}{1 , 05 - 1} = \frac{1}{0 , 05} = 20.$

Donc $V = 1500 \times 20 = 30000$ euros.

La lecture économique. Une rente perpétuelle vaut le montant annuel divisé par le taux. Recevoir $1500$ euros par an pour toujours équivaut donc à posséder $30000$ euros aujourd'hui — un total infini, pour une valeur finie.

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