Une série géométrique à paramètre

Ce qu'on montre. Le critère de convergence d'une série géométrique se ramène ici à une inéquation avec des valeurs absolues.

La raison. La série est géométrique de raison $x=\frac{a}{a+2}$, bien définie puisque $a\ne -2$. Elle converge si et seulement si $|x|<1$, c'est-à-dire $|a|<|a+2|$.

L'inéquation. Les deux membres sont positifs ou nuls, donc élever au carré est une équivalence : $$|a|<|a+2|⟺a^2<a^2+4a+4⟺0<4a+4⟺a>-1.$$ Le point délicat est là : on ne peut pas supprimer les valeurs absolues autrement, car les signes de $a$ et de $a+2$ ne sont pas connus.

Conclusion. La série converge si et seulement si $a>-1$, et $$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{a}{a+2}\right)}^n=\frac{1}{1-\frac{a}{a+2}}=\frac{a+2}{(a+2)-a}=\frac{a+2}{2}.$$

Contrôles. Pour $a=2$ la raison vaut $\frac{1}{2}$ et la somme $2$, ce que donne $\frac{2+2}{2}$. Pour $a=-1$ la raison vaut $-1$ : le terme général ne tend pas vers $0$ et la série diverge — la borne est bien exclue.

Le point à retenir. Une série géométrique n'a qu'une question : où est la raison ? Une fois identifiée, tout se joue sur $|x|<1$.