Une série géométrique dont la raison dépend d'un réel

Ce dont il s'agit. C'est une série géométrique de raison $q(x)=\frac{2x}{1+x^2}$, bien définie pour tout réel $x$ puisque $1+x^2>0$. Elle converge si et seulement si $|q(x)|<1$.

La condition. $|q(x)|<1$ équivaut à $2|x|<1+x^2$, c'est-à-dire à $$x^2-2|x|+1>0,\text{soit}(|x|-1{)}^2>0,$$ en reconnaissant l'identité remarquable avec $|x{|}^2=x^2$.

La résolution. Un carré est strictement positif si et seulement si la quantité élevée au carré est non nulle. La condition s'écrit donc $|x|\ne 1$, c'est-à-dire $x\ne 1$ et $x\ne -1$.

La somme. Pour $x\ne \pm 1$, la série converge et $$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}^n=\frac{1}{1-\frac{2x}{1+x^2}}=\frac{1+x^2}{1+x^2-2x}=\frac{1+x^2}{(x-1{)}^2}.$$

Les cas exclus. Pour $x=1$, la raison vaut $\frac{2}{2}=1$ : tous les termes valent $1$, la série diverge. Pour $x=-1$, la raison vaut $-1$ : le terme général alterne entre $1$ et $-1$ et ne tend pas vers $0$, la série diverge.

Contrôle. Pour $x=0$, la raison est nulle et la somme vaut $1$ ; la formule donne $\frac{1+0}{(0-1{)}^2}=1$. Pour $x=3$, la raison vaut $0,6$, la somme $\frac{1}{0,4}=2,5$ ; la formule donne $\frac{10}{4}=2,5$.