Une série qui commence au rang 2

La convergence. La raison est $\frac{1}{3}$, de valeur absolue strictement inférieure à $1$ : la série converge, et les deux calculs qui suivent ont un sens.

Première façon : factoriser le premier terme. On pose $j=n-2$, de sorte que $n=j+2$ avec $j\ge 0$ : $$\sum _{n=2}^{+\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n={\left(\frac{1}{3}\right)}^2\sum _{j=0}^{+\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^j=\frac{1}{9}\times \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{9}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{6}.$$

Seconde façon : retrancher. La somme complète vaut $\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$, et il faut lui ôter les termes $n=0$ et $n=1$, c'est-à-dire $1$ et $\frac{1}{3}$ : $$\sum _{n=2}^{+\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{3}{2}-1-\frac{1}{3}=\frac{9-6-2}{6}=\frac{1}{6}.$$

Les deux coïncident.

Ce qu'il faut retenir. Une série géométrique qui démarre au rang $p$ vaut son premier terme multiplié par $\frac{1}{1-x}$. Les deux méthodes se contrôlent l'une l'autre, et il est prudent de les mener toutes deux.