Une somme affine en fonction de n

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Sommes usuelles

Énoncé

Calculer $k = 1 \sum n (2 k + 3)$ en fonction de l'entier $n \geq 1$ , puis donner sa valeur pour $n = 10$ .

Corrigé

La linéarité. On sépare la somme en deux : $k = 1 \sum n (2 k + 3) = 2 k = 1 \sum n k + k = 1 \sum n 3.$

Les deux morceaux. La première somme est usuelle : $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . La seconde vaut $3 n$ , car elle compte $n$ termes égaux à $3$ .

La réduction. $k = 1 \sum n (2 k + 3) = 2 \times \frac{n ( n + 1 )}{2} + 3 n = n (n + 1) + 3 n = n (n + 4) .$

La valeur demandée. Pour $n = 10$ : $10 \times 14 = 140$ .

Contrôles. Pour $n = 1$ : la formule donne $1 \times 5 = 5$ , et le terme unique vaut $2 + 3 = 5$ . Pour $n = 2$ : la formule donne $2 \times 6 = 12$ , et $5 + 7 = 12$ .

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