Une somme affine en fonction de n

La linéarité. On sépare la somme en deux : $$\sum _{k=1}^n(2k+3)=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}3.$$

Les deux morceaux. La première somme est usuelle : ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. La seconde vaut $3n$, car elle compte $n$ termes égaux à $3$.

La réduction. $$\sum _{k=1}^n(2k+3)=2\times \frac{n(n+1)}{2}+3n=n(n+1)+3n=n(n+4).$$

La valeur demandée. Pour $n=10$ : $10\times 14=140$.

Contrôles. Pour $n=1$ : la formule donne $1\times 5=5$, et le terme unique vaut $2+3=5$. Pour $n=2$ : la formule donne $2\times 6=12$, et $5+7=12$.