Une somme géométrique qui ne part pas de zéro

La somme complète. Pour $q=2\ne 1$, la formule des sommes géométriques finies donne $$\sum _{k=0}^n{2}^k=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.$$

Première façon : par différence. La somme demandée est la somme complète jusqu'à $10$, privée des termes $k=0,1,2$ : $$\sum _{k=3}^{10}{2}^k=\sum _{k=0}^{10}{2}^k-(2^0+2^1+2^2)=(2^{11}-1)-7=2047-7=2040.$$

Seconde façon : par décalage. Posons $j=k-3$ : quand $k$ va de $3$ à $10$, $j$ va de $0$ à $7$, et $2^k=2^{j+3}=8\times 2^j$. Donc $$\sum _{k=3}^{10}{2}^k=8\sum _{j=0}^7{2}^j=8\times (2^8-1)=8\times 255=2040.$$

Les deux coïncident, ce qui est le meilleur contrôle possible.

Ce que la seconde façon montre. Une somme géométrique qui commence au rang $p$ vaut toujours son premier terme multiplié par la somme complète correspondante — ici $2^3=8$ multiplié par ${\sum }_{j=0}^7{2}^j$. C'est cette lecture qui servira pour les séries.