Une somme qui ne commence pas à zéro

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Séries géométriques

Énoncé

Calculer $n = 3 \sum + \infty (\frac{1}{2})^{n}$ de deux façons : par la formule du premier terme, puis en retranchant les premiers termes à la somme complète.

Corrigé

Première méthode. Le premier terme écrit est $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ et la raison est $\frac{1}{2}$ , donc

$n = 3 \sum + \infty (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1/8}{1 - 1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} .$

Seconde méthode. La somme complète vaut $2$ , et l'on retire les trois premiers termes :

$2 - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4} .$

Conclusion. Les deux chemins donnent $\frac{1}{4}$ . La première méthode est plus rapide, la seconde plus sûre quand on hésite sur le rang de départ.

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