Une somme télescopique

L'identité. En réduisant au même dénominateur,

$$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}.$$

La somme. Elle devient télescopique :

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

Contrôle pour $n=3$. $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{6+2+1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, et $\frac{n}{n+1}=\frac{3}{4}$.