Une somme télescopique

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 — Sommes et séries numériques · Sommes télescopiques

Énoncé

Vérifier que $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{1}{k ( k + 1 )}$ , puis calculer $k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )}$ pour tout $n \geq 1$ .

Corrigé

L'identité. En réduisant au même dénominateur,

$\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{( k + 1 ) - k}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k ( k + 1 )} .$

La somme. Elle devient télescopique :

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{1} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} .$

Contrôle pour $n = 3$ . $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 2 + 1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ , et $\frac{n}{n + 1} = \frac{3}{4}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.