Ce que devient la covariance après un changement d'unité

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Covariance et corrélation

Énoncé

On sait que $V (X) = 4$ , $V (Y) = 9$ et $Cov (X, Y) = - 1, 5$ . On pose $U = 2 X + 1$ et $W = 3 Y - 2$ . Calculer $Cov (U, W)$ , $V (U)$ , $V (W)$ , puis $ρ (U, W)$ et $ρ (X, Y)$ .

Corrigé

Les outils. La covariance est linéaire à gauche comme à droite, et $Cov (Z, a) = 0$ pour toute constante $a$ . Par ailleurs $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .

La covariance. On développe en deux temps : $Cov (2 X + 1, 3 Y - 2) = 2 Cov (X, 3 Y - 2) + Cov (1, 3 Y - 2) = 2 \times 3 Cov (X, Y) + 0,$ puisque la covariance d'une constante avec quoi que ce soit est nulle. Donc $Cov (U, W) = 6 \times (- 1, 5) = - 9.$

Les deux variances. $V (U) = 2^{2} \times 4 = 16$ , donc $σ (U) = 4$ ; et $V (W) = 3^{2} \times 9 = 81$ , donc $σ (W) = 9$ . Les constantes ajoutées ne changent rien : décaler une variable ne modifie pas sa dispersion.

Les deux coefficients de corrélation. $ρ (U, W) = \frac{- 9}{4 \times 9} = - 0, 25, ρ (X, Y) = \frac{- 1 , 5}{2 \times 3} = - 0, 25.$

Conclusion. Les covariances diffèrent — $- 9$ contre $- 1, 5$ — mais les coefficients de corrélation sont égaux. C'est tout l'intérêt de $ρ$ : sans unité, il ne bouge pas quand on change d'échelle, et deux couples deviennent comparables.

Le point délicat. Ici les deux coefficients multiplicatifs $2$ et $3$ sont positifs. Avec $U = - 2 X + 1$ , la covariance changerait de signe et $ρ$ aussi.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.