Coefficient de corrélation

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Covariance et coefficient de corrélation

Énoncé

Pour les deux machines dont la loi conjointe est

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 30$	$0, 10$
$1$	$0, 15$	$0, 20$
$2$	$0, 05$	$0, 20$

calculer $ρ (X, Y)$ et commenter. Que deviendrait $ρ$ si l'on comptait les pièces défectueuses par paquets de dix, c'est-à-dire en remplaçant $X$ par $X /10$ ?

Corrigé

Le coefficient. Avec $Cov (X, Y) = 0, 175$ , $σ (X) \approx 0, 7921$ et $σ (Y) = 0, 50$ : $ρ (X, Y) = \frac{0 , 175}{0 , 7921 \times 0 , 50} \approx 0, 442$ .

Commentaire. Loin de $0$ et loin de $1$ : le lien existe et il est net, mais il ne détermine rien.

Changement d'unité : $ρ$ ne bouge pas. Posons $X^{'} = X /10$ . Par linéarité $Cov (X^{'}, Y) = \frac{1}{10} Cov (X, Y)$ , et $σ (X^{'}) = \frac{1}{10} σ (X)$ ; les deux facteurs $\frac{1}{10}$ se simplifient, donc $ρ (X^{'}, Y) = ρ (X, Y) \approx 0, 442$ . C'est ce qu'on demande à un indicateur sans unité ; la covariance, elle, serait passée à $0, 0175$ .

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