Construire la loi de la somme

Couples de variables aléatoires discrètes finies · Espérance et loi d'une somme · niveau 2

Énoncé

Deux vendeurs signent respectivement $X$ et $Y$ contrats dans la journée, avec la loi conjointe

$X \ Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0, 10$	$0, 15$	$0, 05$
$1$	$0, 20$	$0, 25$	$0, 25$

Déterminer la loi de $S = X + Y$ , puis $E (S)$ et $V (S)$ de deux façons.

Corrigé

Loi de $S$ . On regroupe selon la valeur de $x + y$ : $P (S = 0) = 0, 10$ , $P (S = 1) = 0, 35$ , $P (S = 2) = 0, 30$ , $P (S = 3) = 0, 25$ , de somme $1, 00$ .

Par la loi de $S$ . $E (S) = 0, 35 + 2 \times 0, 30 + 3 \times 0, 25 = 1, 70$ et $E (S^{2}) = 0, 35 + 4 \times 0, 30 + 9 \times 0, 25 = 3, 80$ , donc $V (S) = 3, 80 - 2, 89 = 0, 91$ .

Par les formules du cours. $E (X^{2}) = 0, 70$ donne $V (X) = 0, 21$ ; $E (Y^{2}) = 0, 40 + 4 \times 0, 30 = 1, 60$ donne $V (Y) = 0, 60$ ; et $Cov (X, Y) = 0, 75 - 0, 70 = 0, 05$ . Alors $V (S) = 0, 21 + 0, 60 + 2 \times 0, 05 = 0, 91$ .

Énoncé

Corrigé

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