Construire un tableau à partir de l'indépendance

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Indépendance

Énoncé

Une variable $X$ suit la loi donnée par $P (X = 0) = 0, 6$ et $P (X = 1) = 0, 4$ ; une variable $Y$ , indépendante de $X$ , suit la loi $P (Y = 1) = 0, 5$ , $P (Y = 2) = 0, 3$ , $P (Y = 3) = 0, 2$ . Écrire le tableau de la loi conjointe, puis calculer $P (X + Y \leq 2)$ et $E (X Y)$ .

Corrigé

Ce que l'indépendance donne. Pour toutes valeurs $x$ et $y$ , $P ([X = x] \cap [Y = y]) = P (X = x) P (Y = y) .$ Chaque case est donc le produit de sa marge de ligne par sa marge de colonne.

Le tableau.

$X \ Y$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0, 30$	$0, 18$	$0, 12$
$1$	$0, 20$	$0, 12$	$0, 08$

Contrôle : la somme des six cases vaut $0, 60 + 0, 40 = 1$ .

La probabilité demandée. L'événement $[X + Y \leq 2]$ est réalisé par les couples $(0, 1)$ , $(0, 2)$ et $(1, 1)$ , et par eux seuls. Ces événements étant incompatibles, $P (X + Y \leq 2) = 0, 30 + 0, 18 + 0, 20 = 0, 68.$

L'espérance du produit. Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $E (X Y) = E (X) E (Y)$ . Or $E (X) = 0, 4$ et $E (Y) = 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 + 3 \times 0, 2 = 1, 7,$ donc $E (X Y) = 0, 4 \times 1, 7 = 0, 68$ .

Contrôle par la définition. $X Y$ ne prend une valeur non nulle que sur la ligne $X = 1$ : $E (X Y) = 1 \times 0, 20 + 2 \times 0, 12 + 3 \times 0, 08 = 0, 20 + 0, 24 + 0, 24 = 0, 68$ . Les deux calculs coïncident.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.