Covariance par Kœnig-Huygens

Couples de variables aléatoires discrètes finies · Covariance et coefficient de corrélation · niveau 2

Énoncé

Deux machines produisent des pièces défectueuses : $X$ compte celles de la machine A en une heure ( $0$ , $1$ ou $2$ ), $Y$ celles de la machine B ( $0$ ou $1$ ), avec la loi conjointe

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 30$	$0, 10$
$1$	$0, 15$	$0, 20$
$2$	$0, 05$	$0, 20$

Calculer $E (X Y)$ puis $Cov (X, Y)$ , et interpréter le signe.

Corrigé

Espérance du produit. Les seules cases de produit non nul sont $(1, 1)$ et $(2, 1)$ : $E (X Y) = 1 \times 0, 20 + 2 \times 0, 20 = 0, 60$ .

Covariance. Avec $E (X) = 0, 85$ et $E (Y) = 0, 50$ : $Cov (X, Y) = 0, 60 - 0, 425 = 0, 175$ .

Interprétation. Elle est positive : les deux machines ont tendance à mal produire en même temps. C'est une piste concrète — une cause commune, par exemple un lot de matière première défectueux ou un réglage partagé.

Contrôle. La covariance ne dépasse jamais $σ (X) σ (Y)$ . Ici $E (X^{2}) = 1, 35$ donne $V (X) = 0, 6275$ et $σ (X) \approx 0, 792$ , et $V (Y) = 0, 25$ donne $σ (Y) = 0, 50$ : le produit vaut $0, 396$ , au-dessus de $0, 175$ .

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