Deux tableaux, les mêmes marges

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lire et construire une loi conjointe

Énoncé

Voici deux lois conjointes, où $X$ prend les valeurs $0$ et $1$ , et $Y$ les valeurs $1$ et $2$ .

$T_{1}$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$0, 12$	$0, 28$
$X = 1$	$0, 18$	$0, 42$
$T_{2}$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$0, 20$	$0, 20$
$X = 1$	$0, 10$	$0, 50$

Comparer les lois marginales, puis dire pour chacune si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Corrigé

Les marges sont identiques. Pour $T_{1}$ : $P (X = 0) = 0, 40$ , $P (X = 1) = 0, 60$ , $P (Y = 1) = 0, 30$ , $P (Y = 2) = 0, 70$ . Pour $T_{2}$ : $0, 40$ , $0, 60$ , $0, 30$ , $0, 70$ — les mêmes quatre nombres.

$T_{1}$ : indépendantes. $0, 40 \times 0, 30 = 0, 12$ , $0, 40 \times 0, 70 = 0, 28$ , $0, 60 \times 0, 30 = 0, 18$ , $0, 60 \times 0, 70 = 0, 42$ . Les quatre cases y sont.

$T_{2}$ : non. La première case vaut $0, 20$ , alors que le produit des marges vaut $0, 12$ ; une case en défaut suffit. Les lois marginales ne déterminent donc pas la loi du couple : on ne peut jamais déduire l'indépendance des seules marges.

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