Deux variables liées par un total fixe

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Indépendance

Énoncé

Trois clients choisissent chacun, de façon indépendante et avec la même probabilité $\frac{1}{2}$ , l'une des deux caisses A ou B. On note $X$ le nombre de clients à la caisse A et $Y$ celui à la caisse B. Écrire la loi conjointe de $(X, Y)$ , calculer $Cov (X, Y)$ et $ρ (X, Y)$ , puis $V (X + Y)$ .

Corrigé

La relation cachée. Chaque client va à A ou à B, donc $X + Y = 3$ toujours, c'est-à-dire $Y = 3 - X$ .

La loi de $X$ . $X$ compte les succès de trois épreuves indépendantes de probabilité $\frac{1}{2}$ : $P (X = k) = (k 3) (\frac{1}{2})^{3}$ , soit $\frac{1}{8}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{1}{8}$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ . On en déduit $E (X) = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = 1, 5$ et, avec $E (X^{2}) = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = 3$ , $V (X) = 3 - 2, 25 = 0, 75$ .

La loi conjointe. Toute la masse est sur la diagonale $y = 3 - x$ : $P (X = 0, Y = 3) = \frac{1}{8}, P (X = 1, Y = 2) = \frac{3}{8}, P (X = 2, Y = 1) = \frac{3}{8}, P (X = 3, Y = 0) = \frac{1}{8},$ toutes les autres cases étant nulles.

La covariance. Par linéarité de la covariance et $Cov (X, a) = 0$ pour une constante $a$ : $Cov (X, Y) = Cov (X, 3 - X) = Cov (X, 3) - Cov (X, X) = - V (X) = - 0, 75.$

Le coefficient de corrélation. $Y = 3 - X$ a même variance que $X$ , donc $σ (X) = σ (Y) = 0, 75$ et $ρ (X, Y) = \frac{- 0 , 75}{0 , 75} = - 1.$ C'est cohérent avec le cas d'égalité : $Y = a X + b$ avec $a = - 1 < 0$ .

La variance de la somme. $X + Y = 3$ est constante, donc $V (X + Y) = 0$ . Vérification par la formule : $0, 75 + 0, 75 + 2 \times (- 0, 75) = 0$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.