Espérance d'une somme, espérance d'un produit

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Espérance et loi d'une somme

Énoncé

Deux vendeurs signent respectivement $X$ et $Y$ contrats dans la journée, avec la loi conjointe

$X \ Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0, 10$	$0, 15$	$0, 05$
$1$	$0, 20$	$0, 25$	$0, 25$

Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ , $E (X + Y)$ et $E (X Y)$ . Les variables sont-elles indépendantes ?

Corrigé

Marges. $P (X = 0) = 0, 30$ et $P (X = 1) = 0, 70$ ; $P (Y = 0) = 0, 30$ , $P (Y = 1) = 0, 40$ , $P (Y = 2) = 0, 30$ . Chacune somme à $1$ .

Espérances. $E (X) = 0, 70$ et $E (Y) = 0, 40 + 2 \times 0, 30 = 1, 00$ , donc $E (X + Y) = 1, 70$ par linéarité.

Produit. Seules les cases avec $x = 1$ et $y \geq 1$ contribuent : $E (X Y) = 1 \times 0, 25 + 2 \times 0, 25 = 0, 75$ .

Non indépendantes. $E (X) E (Y) = 0, 70$ , et $0, 75 \neq = 0, 70$ ; si elles l'étaient, les deux nombres coïncideraient. Le critère le confirme : $P (X = 0, Y = 0) = 0, 10$ alors que $0, 30 \times 0, 30 = 0, 09$ .

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