Espérance d'une somme, sans hypothèse

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Espérance et covariance

Énoncé

Le couple $(X, Y)$ a pour loi conjointe :

$X \ Y$	$0$	$2$
$1$	$0, 30$	$0, 20$
$3$	$0, 10$	$0, 40$

Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ et $E (X + Y)$ .

Corrigé

Les marges. En sommant les lignes : $P (X = 1) = 0, 50$ et $P (X = 3) = 0, 50$ . En sommant les colonnes : $P (Y = 0) = 0, 40$ et $P (Y = 2) = 0, 60$ .

Les deux espérances. $E (X) = 1 \times 0, 50 + 3 \times 0, 50 = 2,$ $E (Y) = 0 \times 0, 40 + 2 \times 0, 60 = 1, 2.$

L'espérance de la somme. La linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse — ni indépendance, ni quoi que ce soit : $E (X + Y) = E (X) + E (Y) = 2 + 1, 2 = 3, 2.$

Contrôle par la loi de $S = X + Y$ . $S$ vaut $1$ avec probabilité $0, 30$ , $3$ avec probabilité $0, 20 + 0, 10 = 0, 30$ , et $5$ avec probabilité $0, 40$ . Alors $E (S) = 1 \times 0, 30 + 3 \times 0, 30 + 5 \times 0, 40 = 0, 30 + 0, 90 + 2 = 3, 2.$ Les deux valeurs coïncident.

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