Fabriquer une covariance nulle sans indépendance

Loi conjointe. $Y$ ne prend que les valeurs $0$ et $4$, et sa valeur est déterminée par celle de $X$.

$X\backslash Y$	$0$	$4$	total
$-2$	$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$0$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$
$2$	$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
total	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$

Les marges somment bien à $1$ : $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$ d'un côté, $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ de l'autre.

Covariance nulle. $E(X)=-2\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{4}=0$, et $E(XY)=(-2)\times 4\times \frac{1}{4}+2\times 4\times \frac{1}{4}=-2+2=0$, donc $\mathrm{Cov}(X,Y)=0-0\times E(Y)=0$, quelle que soit $E(Y)$.

Pas indépendantes. $P(X=0,Y=0)=\frac{1}{2}$, alors que $P(X=0)P(Y=0)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Une case en défaut suffit.

Pourquoi ça marche. La loi de $X$ est symétrique autour de $0$ et $Y=X^2$ ne voit pas le signe de $X$ : la covariance, qui ne mesure qu'un lien linéaire, est aveugle à un lien en cloche — pourtant rigide, puisque $Y$ est fonction de $X$.