La corrélation d'une variable avec un total

Ce qu'on montre. Une variable est corrélée au total dont elle est une part, et cette corrélation vaut exactement $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — quelle que soit la variance commune.

La covariance. Par linéarité de la covariance à droite, $$\mathrm{Cov}(X,S)=\mathrm{Cov}(X,X)+\mathrm{Cov}(X,Y)=V(X)+0={\sigma }^2,$$ la covariance de $X$ et $Y$ étant nulle par indépendance.

Les écarts-types. $\sigma (X)=\sigma$, et $V(S)=V(X)+V(Y)=2{\sigma }^2$ puisque la covariance est nulle, donc $\sigma (S)=\sigma \sqrt{2}$. Tous deux sont non nuls car ${\sigma }^2>0$ : le coefficient est bien défini.

Le coefficient. $$\rho (X,S)=\frac{{\sigma }^2}{\sigma \times \sigma \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707.$$

Vérification. Avec $X$ et $Y$ indépendantes et $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$, on a ${\sigma }^2=\frac{1}{4}$, $E(XS)=E(X^2)+E(X)E(Y)=\frac{3}{4}$ et $E(X)E(S)=\frac{1}{2}$ : la covariance vaut $\frac{1}{4}$, et $\rho =\frac{0,25}{0,5\times 0,7071}\approx 0,707$.

Interprétation. Le lien est positif — quand $X$ augmente, le total augmente — et fort, mais pas parfait : $S$ n'est pas une fonction affine de $X$ seul, la part $Y$ apportant sa propre variabilité. Le résultat ne dépend pas de $\sigma$, le coefficient étant sans unité.

Le point à retenir. La linéarité de la covariance permet de calculer un $\rho$ sans écrire aucun tableau. Avec $n$ parts indépendantes de même variance, le même calcul donnerait $\rho =\frac{1}{\sqrt{n}}$.