La loi de Y sachant une valeur de X

Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lois conditionnelles · niveau 1 (application)

Énoncé

Le couple $(X, Y)$ a pour loi conjointe :

$X \ Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0, 10$	$0, 20$	$0, 10$
$1$	$0, 12$	$0, 24$	$0, 24$

Déterminer la loi de $Y$ sachant $[X = 1]$ .

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La définition. Pour un événement $[X = 1]$ de probabilité non nulle, $P_{[X = 1]} (Y = y) = \frac{P ( [ X = 1 ] \cap [ Y = y ] )}{P ( X = 1 )} .$ On prend donc la ligne $X = 1$ , et on la divise par son total.

Le dénominateur. $P (X = 1) = 0, 12 + 0, 24 + 0, 24 = 0, 60$ , non nul : la loi conditionnelle a bien un sens.

Les trois valeurs. $P_{[X = 1]} (Y = 0) = \frac{0 , 12}{0 , 60} = 0, 20, P_{[X = 1]} (Y = 1) = \frac{0 , 24}{0 , 60} = 0, 40,$ $P_{[X = 1]} (Y = 2) = \frac{0 , 24}{0 , 60} = 0, 40.$

Le contrôle. $0, 20 + 0, 40 + 0, 40 = 1$ : c'est bien une loi de probabilité.

L'image à retenir. Conditionner par $[X = 1]$ , c'est prendre la ligne correspondante et la redresser pour qu'elle pèse $1$ à elle seule.

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